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博观而约取 厚积而薄发

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排列与组合  

2011-05-02 06:28:40|  分类: 信息学竞赛资料 |  标签: |举报 |字号 订阅

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排列与组合

        排列与组合全排列容许重复排列容许重复组合圆周排列部分组合部分排列

        一、排列与组合

        一般地说:从 N 个不同的元素中,任取 M (M<=N)个元素按一定的顺序排成一列,叫做从 N 个不同元素中取出 M个元素的一个排列。如果M=N则称为N的全排列。从 N 个不同的元素中,任取 M (M<=N)个元素而不管次序地组成一组,叫做从 N 个不同元素中取出 M 个元素的一个组合。

         例1:从 4 个学生中挑选 2 个同学按先后顺序排成一条队,一共有多少种不同的排队方法?

分析:这是一个排列问题。4 个学生是 4 个不同的元素,挑选 2个同学排成一列说明是有次序的。我们很容易找出所有可以挑选的方案。假定这 4个同学的编号分别是1、2、3、4,则有:12、13、14、21、23、24、31、32、34、41、42、43共12种方案。因为这 4 个同学都可以被选在第一位置和第二位置,所以第一位置与第二位置的值都可以是1-4,但是这两个位置的值是不能相等的。如果分别用A、B代表第一位置与第二位置,则A、B的取值范围都是1-4,且A<>B。

      一般地:从 N 个不同的元素中任取 M 个元素按次序排列,需要 M 个循环变量作 M 重循环,每个变量的变化范围从1-N。若把例 1 改为从 4 个同学中选 2个同学去开会,一共有多少种选法?因为两个同学去开会,没有先后顺序的关系,因此就变成了一道组合问题。我们也很容易找出所有可以挑选的方案:12、13、14、23、24、34,共6 种。并且与排列有如下的对应关系:

排列12、21对应组合12

排列13、31对应组合13

排列14、41对应组合14

排列23、32对应组合23

排列24、42对应组合24

排列34、43对应组合34

       由于组合可以有多种写法,为了书写统一,一般前面的序号总不大于后面的序号。如果用A,B来表示第一位置与第二位置,我们已经说明了AA,所以 B 的取值范围是A+1与 4 之间。一般地:从 N 个不同的元素中,任取 M 个元素的组合,需要 M 个循环变量作 M重循环,每个变量的变化范围是:从前一个变量的值加 1 到 N 减去倒着数的位置值。当然第一个循环的值是从 1 开始。 

 
     

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